\chapter{Modelbestemmelse}
\label{modelbestemmelse}
På baggrund af den indledende analyse af kranen kan der nu opstilles algebraiske beskrivelser af systemet. Der ønskes opstillet en model, der kan danne grundlag for en hastighedsregulator. Denne skal beskrive lastens hastighed i $x$- og $y$-aksens retning, som funktion af spændingen på den tilsvarende motor. I disse beskrivelser, også kaldet modeller, vil lastens vinkel, i forhold til lodret på slæden, optræde som en forstyrrelse der skal undertrykkes.\\
Til bestemmelse af modellen er systemet delt op i tre delsystemer; DC-motor, Gear og Kran. Af figur \ref{fig:modelbestemmelse-oversigt} fremgår sammenhængen af variable og mellemvariable for de tre delsystemer. Der bestemmes først en model for hvert delsystem, hvorefter den samlede model bestemmes. Systemets parametre bestemmes til slut ved anvendelse af SENSTOOLS.\\
Overordnet arbejdes der kun med systemet i to dimensioner og bevægelser i andre retninger end horisontal og vertikal vil blive set bort fra. Friktion er desuden behandlet som et separat problem, hvor der er valgt at se bort fra stiktion, da det er set som for besværligt at regulere på, i forhold til dets effekt. Endvidere er der også valgt at se bort fra vindmodstand, da det vil have en ubetydelig indflydelse, ved de aktuelle hastigheder.
%Der opstilles i dette kapitel en algebraisk beskrivelse af det samlede system. For at kunne opstille en model for det samlede system, er der opstillet en model af hvert delsystem. For at give et bedre overblik af systemet, er systemet delt op i 3 dele; DC-motor, Gear og Kran. Af figur \ref{fig:modelbestemmelse-oversigt} fremgår sammenhængen mellem de 3 delsystemer. Det ses, hvordan den samlede model beskriver lastens position ud fra spændingen på motoren. Desuden fremgår variablerne mellem delmodellerne også. \\
%Til slut bliver de 3 delmodeller kombineret til en samlet beskrivelse af systemet. Derudover er friktion behandlet som et seperat problem. Der er valgt at se bort fra stiktion, da det er set som for besværligt at regulere på, i forhold til dets effekt. Endvidere er der også valgt at se bort fra vindmodstand, da det vil have en ubetydelig indflydelse, ved de aktuelle hastigheder. For at bestemme systemets parametre bruges programmet SENSTOOLS.
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto]
    % Place nodes
    \node [noborder] (voltmotor) {$u_\text{e}(t)$};
    \node [block, right of=voltmotor, node distance=2cm] (motor) {DC-motor};
    \node [block, right of=motor, node distance=3.5cm] (gear) {Gear};
    \node [block, right of=gear, node distance=3.5cm] (kran) {Kran};
    \node [noborder, right of=kran] (position) {$\mathbf{\dot{p}}(t)$};
    % Draw edges
    \path [line] (voltmotor) -- (motor);
    \path [line] (motor) -- node [near start] {$\tau_\text{m}$} (gear);
    \path [line] (gear) -- node [near start] {$\tau_\text{w}$} (kran);
    \path [line] (kran) -- (position);
\end{tikzpicture}
\caption{Sammenhæng mellem delmodellerne; DC-motor, Gear og Kran.}
\label{fig:modelbestemmelse-oversigt}
\end{figure}

\section{Linearisering}

Ofte forekommer det at fysiske modeller bliver ulineære. Da de regulatorer, der anvendes i dette projekt, bygger på linearitet, er der behov for at linearisere disse ulineære størrelser. Lineariseringen vil blive udført som beskrevet i \citep{linearisering}, her opstillet på punktform:

\begin{enumerate}
\item Bestem arbejdspunktet for modellen og derudfra den algebraiske arbejdspunktligning.
\item Erstat lineære dele med en sum af de nominelle arbejdspunktværdier og småsignalsværdierne: $x(t) = \bar{x} + \hat{x}(t)$ 
\item Tilnærm ulineære dele med et førsteordens taylorapproksimation omkring arbejdspunktet.
\item Brug den algebraiske arbejdspunktligning til at fjerne de konstante dele i differentialligningen, så der er en lineær ligning tilbage kun bestående af småsignalsværdierne.
\end{enumerate}

